Durup hayatı incelediğimizde her yerde kaosa rastlarız. Dışarıda araba seslerinin insan sesleriyle karışması, bir yandan çalan müzik, öte yanda yapılan inşaat sesleri… Bu kaotik ses birikintisine gürültü deriz. Onun bir gürültü olma sebebi aslında hiçbir sesin düzenli bir bütün oluşturmamasından ve onu anlamlandıramamaktan gelir. Yalnızca seste değil, geometri, psikoloji, finans, doğa gibi hayatın her yerinde kaosa rastlarız. İşte Benoit Mandelbrot, “kaos” olarak algıladığımız bu şeylerin ardında bir gizli düzen ve kendine has bir geometrisi olduğunu keşfetti. Yani kaos olarak gördüğümüz bütün bunların kaotik değil yalnızca bizim algısal olarak ondaki düzeni algılayamamızdan ileri geliyordu. Oluşturduğu “Mandelbrot Kümesi” ile doğanın fraktallardan oluşan bir yapı olduğunu bize matematiksel olarak göstererek felsefede de tartışılan “evren kaotik midir? düzenli mi?” sorularına yeni kapılar açtı.
Doğanın Güzelliği: Pürüzler
Bir bulutun şeklini, bir dağın zirvesini, bir kar tanesini veya düşen bir yıldırımı düşünelim. Bütün bu şeylerin geometrisinin düzgün geometriler olmadığı aşikardır. Yüzyıllar boyunca bilim, bu pürüzleri ideal geometriden sapma olarak nitelendirmiş. Bazıları düşünce dünyasında bu sapmaları bir kusur olarak görmüştür. Ancak Benoit Mandelbrot, kendi adını verdiği Mandelbrot Kümesi ile bu bakış açısını temelden sarstı. Bütün bu pürüzlülükler aslında bir sapma değil evrenin temel ve ölçülebilir bir özelliği olduğunu gösterdi. Fraktal Geometri adı verilen bu geometri dalıyla dünyadaki bu hata olarak görünen pürüzlerin ardındaki gizli düzeni anlamamızı sağladı. Klasik geometrinin yetersizliği “İngiltere’nin kıyı şeridinin uzunluğu nedir?” sorusuyla açıklanabilir. Aslında daha önce Parmenides’in öğrencisi Zenon’un meşhur “Akhilleus ve Kaplumbağa” veya “Ok” paradokslarıyla da bu konu üzerine daha önce düşünülmüştü. “Kıyı Şeridi” paradoksu da kıyı şeridini ölçmek için kullanılan cetvelin boyu küçüldükçe, ölçülen toplam uzunluğun sürekli arttığını söyler. Bu durumu şu şekilde daha net anlayabiliriz.
İlk önce büyük bir cetvelle kıyı şeridini ölçmeye başlayalım. Örneğin 100 km’lik bir cetvelle kıyıyı ölçtüğümüzde yalnızca büyük girinti ve çıkıntıları hesaba katarak bir ölçüm yapabiliriz. Bu da bize daha az ayrıntılı ve kaba bir uzunluk verecektir. Bunun yerine 10 km’lik bir cetvelle ölçmeye kalkarsak daha önce gözden kaçan küçük koyları ve yarımadaları da hesaba katabiliriz. Bu yeni detayları hesaba kattığımızda yeni uzunluklar ekleneceği için uzunluk önceki cetvele göre artacaktır. O zaman cetveli daha da küçültelim ve kıyı şeridini 1 metrelik cetvellerle ölçelim. Bu sefer kayaların girintilerini, çakılların kenarlarını da ölçüme dahil etmemiz gerekecek. Sonuç olarak daha uzun bir sonuç elde edeceğiz. Ölçümü ne kadar hassaslaştırırsak uzunluk giderek artacaktır. Çünkü ne kadar küçük ölçekte ölçersek o kadar fazla pürüze rastlarız. Demek ki “uzunluk” denilen şey aslında gerçek bir realite değil göreli bir şeydir. İngiltere’nin kıyı şeridinin uzunluğunu asla tam olarak ölçemeyiz. Mandelbrot’un belirttiği gibi “Sahil şeridi uzunluğu kavramı… tamamen uydurmadır; böyle bir şey yoktur.”
Fraktal Nedir?
Fraktal, temel olarak bir nesnenin küçük bir parçasının nesnenin bütününün küçültülmüş bir kopyasıdır. Her ölçekte sonsuz bir pürüzlülük ve detay sergiler. O detaya büyüteçle baktığımızda içinde yeni bir pürüz ortaya çıkar. Fraktallardaki bu pürüzler Öklid geometrisindeki şekillerin pürüzsüzlüğünün tam tersidir. Örneğin bir çemberi ele alırsak çemberin kenarına ne kadar yaklaşırsak yaklaşalım her zaman pürüzsüz bir çizgi görünecektir. Ancak bu pürüzsüz ideal şekiller yalnızca soyut düzlemde geçerli olabilir. Somut yani maddi düzlemde pürüzsüz bir çember mümkün değildir. Bir kağıda hatasız bir çember çizip onun kenarına yaklaşsak mutlaka pürüzlerin olduğu görülecektir. Veya bilgisayardaki bir çizim uygulamasından yaparsak o çemberin kare piksellerden oluştuğunu görürüz. Bunun gibi doğadaki herhangi bir nesneye ne kadar yaklaşırsak pürüzler görürüz. Mesela bir kıyı şeridine veya bir bulutun kenarına baktığımızda daha önce görmediğimiz yeni girintiler ve pürüzler meydana çıkacaktır. Mandelbrot’un Mandelbrot Kümesi’yle yaptığı şey, fraktal boyut adını verdiği bu ölçüyle bir bulutun pamuksuluğu gibi şeyleri sayılarla ölçmenin yolunu bulmasıdır.
Fraktalın bir diğer özelliği sonsuz detay ve ölçekten bağımsızlıktır. Yani bir fraktal kendine benzerdir. Ona ne kadar yakından bakarsan bak karmaşıklığı ve detay seviyesi azalmaz. Benzer desenler sonsuza kadar ortaya çıkmaya devam eder. Bu sebepten dolayı fraktallar ölçek değişmezliğine sahiptir. Mandelbrot Kümesi’nde de görebileceğimiz gibi bu karmaşıklık genellikle çok basit bir matematiksel kuralın tekrar tekrar uygulanmasıyla ortaya çıkar. Bir Mandelbrot kümesi aslında Mandelbrot’un meşhur denklemi olan z=z²+c denkleminin sürekli tekrarlanmasıdır. Mandelbrot Kümesi, bize basit bir kuralın doğanın nasıl bu kadar karmaşık ve detaylı yapılar oluşturabileceğini gösterir.
Kaosun İçindeki Düzeni Görmek
Benoit Mandelbrot, 2010 yılında hayata veda ettiğinde, bizlere doğayı, ekonomiyi ve karmaşık sistemleri anlamak için yeni bir bakış açısı bıraktı. Mandelbrot Kümesi ortaya atıldığı günden beri bilimin ve teknolojinin alanlarında da kendine yer buldu. Bu özelliğiyle fraktallar ve Mandelbrot Kümesi, yalnızca felsefi bir tartışma alanının içinde değil pratik hayatın içine de girmiştir. Örneğin, finans alanında Mandelbrot, kariyerin başlarında borsa ve pamuk fiyatlarındaki dalgalanmaları incelemişti. Finans piyasasındaki bu ani dalgalanmaların da bir fraktal yapıya sahip olduğunu söyledi. Bunun dışında sinema ve bilgisayar grafiklerinde de Mandelbrot kümesi kullanılır. “Star Trek 2: The Wrath of Khan” filmindeki gezegen yüzeylerini oluştururken Mandelbrot Kümesi’nden faydalanılmıştır. Bunun dışında Pixar’ın kurucu üyelerinden Lauren Carpenter, Mandelbrot Kümesini kullanarak bilgisayarda gerçekçi dağ manzaraları ve doğal yüzeyler yarattı. Bu teknik, modern bilgisayar animasyonunun ve video oyunlarındaki gerçekçi dünyaların temellerini attı.
